มัธยฐาน

มัธยฐาน ( Median )

        

        มัธยฐาน หมายถึง ค่ากึ่งกลางของข้อมูลชุดนั้น หรือค่าที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลชุดนั้น เมื่อได้จัดเรียงค่าของข้อมูลจากน้อยที่สุดไปหามากที่สุดหรือจาหมากที่สุกไปหาน้อยที่สุด ค่ากึ่งกลางจะเป็นตัวแทนที่แสดงว่ามีข้อมูลที่มากกว่าและน้อนกว่านี้อยู่ 50 % ค่ามัธยฐานจะอยู่ตำแหน่ง 

( N คือ จำนวนข้อมูล )
1. การหาค่ามัธยฐาน (Median) ของข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ (Ungrouped Data)ให้เรียงข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลที่มีค่ามากที่สุด หรือจากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด แล้วหาคะแนนที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลาง
   
   
         ตัวอย่างที่ 6 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้  9, 5, 11, 16, 6, 10, 13, 14, 17
   
   
   
   วิธีทำ เรียงข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดคือ 3, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 16
   Median จะอยู่ตำแหน่งที่          
   
   
          ดังนั้น  ค่ามัธยฐานเท่ากับ  5
   
   
         ตัวอย่างที่ 7 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้  40, 35, 24, 28, 26, 29, 36, 31, 42, 20, 23, 32
   
   วิธีทำ เรียงข้อมูลจากข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลทีมีค่ามากที่สุดคือ 20, 23, 24, 26, 28, 29 31, 32, 35, 36, 40, 42, ซึ่ง n = 12
   
   ตำแหน่งมัธยฐาน 
   
      
   
   
   ข้อมูลตำแหน่ง ที่ 6.5 อยู่ระหว่าง 29 กับ 31
   
   มัธยฐานเท่ากับ 
   
   
   มัธยฐาน คือ 

เลขฐานสิบ

ระบบตัวเลขฐานสิบ (System of Base Ten Numeral) 

เป็นระบบที่ใช้ ตัวเลขโดด (degits) 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ในการเขียนสัญลักษณ์แทนจำนวน โดยอาศัยค่าประจำตำแหน่ง ซึ่งแตกต่างกันในการกำหนดค่าของตัวเลขโดดนั้น ๆ 

ตารางค่าประจำตำแหน่ง (place valuc) ของระบบตัวเลขฐานสิบ มีดังนี้ 

ตำแหน่งที่ ……ห้า สี่ สาม สอง หนึ่ง 

ชื่อตำแหน่ง …หลักหมื่น หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย 

ค่าประจำตำแหน่ง.10,000 1,000 100 10 1 

ข้อสังเกต 

1. ในระบบตัวเลขฐานสิบ ค่าประจำตำแหน่งของหลักทางซ้ายมือ จะเป็นสิบเท่าของหลักทางขวามือเสมอ 

2. ในระบบตัวเลขฐานสิบ ค่าของตัวเลขแต่ละตัวของจำนวนใด ๆ จะเท่ากับตัวเลขโดด คูณกับค่าประจำตำแหน่งของตัวเลขโดดนั้น 

ตัวอย่างการเขียนตัวเลขแทนจำนวนในรูปการกระจาย เช่น 

5,432 = (5x1000)+(4x100)+(3x10)+(2x1) 

789 = (7x100)+(8x10)+(9x1) 

33 = (3x10)+(3x1) 

ถ้าการเขียนตัวเลขแทนจำนวนใด ๆ ในรูปการกระจายไม่กะทัดรัด ก็อาจใช้วิธีเขียนค่าประจำตำแหน่งให้สั้นลงโดยใช้เลขยกกำลัง เช่น 

857,425 = (8x105)+(5x104)+(7x103)+(4x102)+(2x10)+(5x1) 

8,763 = (8x103)+(7x102)+(6x10)+(3x1) 

ฐานนิยม (Mode)
ฐานนิยมคือ ค่าของคะแนนที่ซ้ำกันมากที่สุดหรือ ค่าคะแนนที่มีความถี่สูงที่สุดในข้อมูลชุดนั้น 
การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ ( Ungrouped Data ) พิจารณาค่าของข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุด คือฐานนิยม
ตัวอย่าง 5.9 จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้ 3, 2, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 10
ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 4
ฐานนิยมคือ 4
ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยม 2 ค่า เช่น 10, 14, 12, 10, 11, 13, 12, 14, 12, 10
ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 10 กับ 12
ฐานนิยม คือ 10 กับ 12
ข้อมูลบางชุดอาจจะไม่มีฐานนิยมซึ่ง ได้แก่ ข้อมูลที่มีรายการซ้ำจำนวนเท่ากันหลายชุด เช่น 5, 2, 3, 4, 7, 8, 2, 3, 5, 9, 10, 2, 3, 5, 7, 9, 8, 7, 8
ข้อมูลที่ไม่มีรายการซ้ำกันเลย เช่น 8, 9, 10, 11, 13, 15
1. การหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ ( Grouped Data ) ในการหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่

วิธีที่ 1 ให้สูตร 

เมื่อ               Mo = ฐานนิยม (Mode)
                        L = ขีดจำกัดล่างของคะแนนในชั้นที่มีความถี่สูงสุด
                        I = อันตรภาคชั้น           = ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นก่อนหน้า
           = ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นที่ถัดไปทางคะแนนมาก


ตัวอย่างที่ 10 จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาฐานนิยม

คะแนน	ความถี่ (fi)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 29 25 – 29 30 – 34             35 – 39 40 – 44	3 4 3 7 6 4 2 3
	N = 32

วิธีทำ
1. ค่าฐานนิยมอยู่ในชั้น 20 – 24 (ค่าที่มากที่) ขีดจำดักล่าง คือ 19.5
2. ค่า i คือ 19.53. 
4.แทนค่า     =     = 


ดังนั้น  ฐานนิยมของข้อมูลในตารางนี้คือ 23.5


วิธีที่ 2 ในกรณีที่หาค่ามัชฌิเลขคณิตและมัธยฐานได้แล้ว สามารถที่จะนำมาคำนวณหาฐานนิยมได้ โดยใช้สูตร                        Mode = 3Median - 2Mean


ตัวอย่างที่ 11 จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาค่ามัธยฐาน

คะแนน	ความถี่ (f)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 29 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44	3 4 3 7 6 4 2 3
	N = 32

จากตาราง หาค่ามัชฌิมเลขคณิต ( Mean ) ได้เท่ากับ 23.87
มัธยฐาน (Median) เท่ากับ 23.78สูตร Mode = 3 Median – 2Mean
= 3(32.7) – 2(23.8)
= 71.1 – 47.6
= 23.5

เปอร์เซ็นไทล์(Percentile)

เปอร์เซ็นไทล์(Percentile)

          เปอร์เซ็นไทล์เป็นคะแนนที่บ่งบอกให้ทราบว่าผู้เรียนคนนั้น ๆ อยู่ในระดับที่เท่าใดเมื่อเทียบจาก 100 คน ค่าเปอร์เซ็นไทล์หาได้จากสูตร

เมื่อ   P คือ ค่าเปอร์เซ็นไทล์

cf คือ ความถี่สะสมในชั้นคะแนนที่ต่ำลงมา

f   คือ ความถี่ของชั้นคะแนน

N  คือ จำนวนผู้เรียน

ตัวอย่าง

คะแนน(x)	ความถี่(f)	ความถี่สะสม(cf)	เปอร์เซ็นไทล์(P)
10	1	60	99
9	3	59	96
8	5	56	89
7	12	51	75*
6	15	39	52
5	9	24	32
4	7	15	19
3	4	8	10
2	2	4	5
1	1	2	2
0	1	1	1

* ตัวอย่างการคำนวณหาเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนน 7

พิสัย

พิสัย (Range)

        พิสัย คือ ค่าความแตกต่างระหว่างคะแนนสูงสุดกับคะแนนต่ำสุดในข้อมูลชุดหนึ่งๆ ซึ่งใช้วัดการกระจายของข้อมูลได้ไม่ละเอียด อาจจะทำให้เข้าใจลักษณะของข้อมูลคลาดเคลื่อนไปเพราะพิสัยจะใช้เฉพาะคะแนนสูงสุดเท่านั้น
พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด


ตัวอย่างที่ 12 จงหาพิสัยของข้อมูลต่อไปนี้ 5, 8, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 20

1. ข้อมูล 5, 8, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 20พิสัย = 20 – 5
           = 15
   ค่าพิสัย คือ 15 แสดงว่าข้อมูลชุดนี้มีการกระจาย
2. ข้อมูล 10, 10, 10,10, 10, 10, 10,10พิสัย = 10 – 10
           = 0
   ค่าพิสัย คือ 0 แสดงได้ว่าข้อมูลชุดนี้ไม่มีการกระจาย (ข้อมูลเท่ากันหมด)
3. ข้อมูล 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

พิสัย = 128 – 2    = 126
ค่าพิสัย คือ 126 แสดงว่าข้อมูลนี้มีการกระจายมากตัวอย่างที่ 13  จงหาพิสัยของข้อมูลต่อไปนี้

1. ข้อมูล 30, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60ค่าพิสัย = 60 –30   = 30
   ค่าพิสัย คือ 30
2. ข้อมูล 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60

ค่าพิสัย = 60 –51   = 9
ค่าพิสัย คือ 9
สังเกตที่ข้อมูลทั้ง 2 ชุด มีลักษณะคล้ายคลึงกันจะแตกต่างกันที่ข้อมูลตัวแรกเท่านั้นแต่ว่าค่าพิสัยจะมีความแตกต่างกันมาก ซึ่งค่าพิสัยนี้ไม่สามารถที่จะอธิบายลักษณะของข้อมูลได้อย่างชัดเจน
ข้อสังเกต

1. ค่าพิสัยที่ได้เป็น 0 แสดงว่าข้อมูลไม่มีการกระจาย (ค่าเท่ากันหมด)
2. ถ้าคำนวณได้ค่าพิสัยน้อย แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายน้อย
3. ถ้าคำนวณได้ค่าพิสัยมาก แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายมาก
4. ข้อมูลที่คล้ายคลึงกันอาจมีค่าพิสัยแตกต่างกันมากก็ได้ เพราะคำนวณจากตัวเลขเพียง 2 ค่า โดยเฉพาะถ้ามีข้อมูลมาก หรือ ค่าของข้อมูลค่าใดค่าหนึ่งมากหรือน้อยมากกว่าค่าของข้อมูลทั้งกลุ่มมาก
5. ค่าพิสัยเหมาะสำหรับใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่มีจำนวนน้อย
6. ใช้เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลหลายๆ ชุด อย่างคร่าวๆ

สัจพจน์

 สัจพจน์ในวิชาเรขาคณิต 


          เรขาคณิต เป็นส่วนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ว่าด้วยการเกี่ยวข้องกับจุดที่เรียงกันอย่างมีระเบียบตามกฎเกณฑ์ที่กำหนดให้เป็นรูปหรือรูปทรงต่าง ๆ 

สัจพจน์ คือข้อความเบื้องต้นทางเรขาคณิตที่ยอมรับกันว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ประกอบด้วย

 

1. รูปเรขาคณิตทั้งหลายย่อมเคลื่อนที่ได้ 

2. มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดที่กำหนดให้ 2 จุดได้ 

3. ปลายทั้งสองของเส้นตรงอาจถูกต่อออกไปได้ไม่จำกัดความยาว 

4. เส้นตรงทั้งหลายที่ลากต่อระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ส่วนของเส้นตรงย่อมสั้นที่สุด 

5. เมื่อกำหนดจุดศูนย์กลางและส่วนของเส้นตรงเป็นรัศมี สามารถสร้างวงกลมได้เพียงวงเดียวเท่านั้น 

6. เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น 

7. ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุดกึ่งกลางได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น 

8. มุม ๆ หนึ่ง ย่อมมีเส้นตรงแบ่งครึ่งมุมได้เพียงเส้นเดียว 

9. มุมฉากทุกมุม มุมตรงข้ามทุกมุมมีขนาดเท่ากัน 

10. เมื่อกำหนดจุดบนเส้นตรงให้ จะลากเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงที่จุดนั้นได้เพียงเส้นเดียว 

11. เส้นที่ลากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงเส้นหนึ่ง เส้นตั้งฉากย่อมสั้นที่สุด 

12. มุมรอบจุด ๆ หนึ่งรวมกันจะเท่ากับสองเท่าของมุมตรง หรือสี่เท่าของมุมฉาก 

13. รัศมีของวงกลมเดียวกัน หรือวงกลมที่เท่ากันจะมีขนาดเท่ากัน 

14. เส้นตรงเส้นหนึ่งจะตัดวงกลมได้ 2 จุด เส้นตรงนี้เรียกว่าเส้นพาดวง (secant) 

15. เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อผลบวกของขนาดของมุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดเป็น 180 องศา 

นิยามฟังก์ชันลอการิทึม

นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ อินเวอรส์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเซียลอยู่ในรูป

              Exponential : 

              Log              : 

            

นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ 

             จึงสรุปได้ว่า ตัวเลขหลัง  ต้องเป็นจำนวนจริงบวก

                                 ฐานของต้องเป็นเลขจำนวนจริงบวก แต่ไม่เป็น 1

                                 ค่าของคือ y เป็นจำนวนจริงบวก จำนวนจริงลบ หรือศูนย์ก็ได้

             " " อ่านว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ลอกเอ็กซ์ฐานเอ” " loga"

             เนื่องจาก f (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้น  จึงเป็นฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ด้วย