นิยามฟังก์ชันลอการิทึม

นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ อินเวอรส์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเซียลอยู่ในรูป

              Exponential : 

              Log              : 

            

นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ 

             จึงสรุปได้ว่า ตัวเลขหลัง  ต้องเป็นจำนวนจริงบวก

                                 ฐานของต้องเป็นเลขจำนวนจริงบวก แต่ไม่เป็น 1

                                 ค่าของคือ y เป็นจำนวนจริงบวก จำนวนจริงลบ หรือศูนย์ก็ได้

             " " อ่านว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ลอกเอ็กซ์ฐานเอ” " loga"

             เนื่องจาก f (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้น  จึงเป็นฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ด้วย

คุณสมบัติลอการิทึม

คุณสมบัติ  7  ประการของลอการิทึม มีดังนี้

1.  สมบัติการบวก

                        log _a M + log _a N  =  log _a ( M·N )

Example  จงรวมพจน์ของ  log ₂ 3 +  log ₂ 4  + log ₂ 6

            Solⁿ 

                        log ₂  3  +  log ₂ 4  +  log ₂ 6   =  log ₂ ( 3 x 4 x 6 )

                                                                        =  log ₂ 72                              #

2.  สมบัติการลบ

                        log _a M  -  log _a N     =  log _a ()

Example  จงรวมพจน์ของ  log ₂ 5  -  log ₂ 10

            Solⁿ      log ₂ 5  -  log  ₂ 10    =  log ₂ ()

                                                            =  log ₂ ()              #

3.  สมบัติของเลขลอการิทึม  ที่เท่ากับเลขฐาน

                              log _a a       =  1   ,  เมื่อ   a  >  0   และ  a  ≠  1

Example  จงหาค่าของ  log ₃ 3  

            Solⁿ                     log ₃ 3         =  1                                         #

**  การนิยามในลอการิทึม   จะไม่นิยามให้เป็นจำนวนลบ ** 

4.  สมบัติของลอการิทึม  1 

                                log _a 1     =  0     ,  เมื่อ  a  >  0 

*  เหตุที่เป็นเช่นนี้ได้เพราะหากว่าเราเขียนกลับจากรูปลอการิทึม 

        log _a 1     =  0 

    จะได้เลขยกกำลังเป็น  a⁰  =  1  แต่   a    เป็น  -  หรือ  0  ไม่ได้ 

5.  สมบัติเลขยกกำลังของลอการิทึม

                                    log _a M^P          =   P ·  ( log _a M )

*  คุณสมบัตินี้บอกให้เรานำเลขชี้กำลังของลอการิทึมมาไว้ด้านหน้า  เพื่อนำมา                     

    คูณกับเลขลอการิทึม  *

Example        log ₅ 125x      =  ?

            Solⁿ     

                        log ₅ 125x      =  log ₅ 5³ ·  x

                                                =  log ₅ 5³  +   log ₅ x

                                                =  3 · log ₅ 5  + log ₅ x

                                                =  3·1  +  log ₅ x

                                                =  3  +  log ₅ 125x                             #

6.  คุณสมบัติฐานลอการิทึมที่เขียนเป็นเลขยกกำลังได้

                                         log a^P M       =   ·  ( log _a M )

Example                           log ₈ 7      =   ?

            Solⁿ 

                                          log ₈ 7       =   log 7

                                                            =   log ₂ 7                            #

7.  คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม

log _b  a      =               ,  เมื่อ  a,b,c >  0  และ  c,b,  ≠  1

           *คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานได้นี้เป็นคุณสมบัติที่สำคัญสำหรับการแก้ปัญหาสมการลอการิทึม  คุณสมบัตินี้บอกว่า  หากเราไม่พอใจฐานลอการิทึมที่โจทย์กำหนดมา  เราสามารถเปลี่ยนฐานลอการิทึมใหม่ได้ตามต้องการ  แต่ต้องมากว่า  0  และไม่เท่ากับ  1  ซึ่งมักเปลี่ยนเป็นฐาน  10

Example    จงเปลี่ยน    log   เป็นฐาน  10

            Solⁿ  

                 log 5         =                                 #

          *ลอการิทึมฐาน  10  เป็นลอการิทึมที่พบบ่อยและมักจะไม่นิยมเขียนเลขฐานกำกับไว้โดยตกลงว่าเมื่อ   เขียนลอการิทึมที่ไม่มีฐานแสดงว่าเป็นลอการิทึมฐาน  10  เรียกว่า  “ ลอการิทึมสามัญ ”

การหารทศนิยม

 การหารทศนิยม   ต้องทำให้ตัวหารเป็นจำนวนเต็มเสียก่อน  โดยการเลื่อนจุดทั้งของตัวตั้งและตัวหารไปเท่ากัน  จนทำให้ตัวหารเป็นจำนวนเต็ม  แล้วหารเหมือนการหารจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง    

                                           14.9
                                  
                                         16

                                           78
                                           64
                                           144
                                           144
                                              0

การลบเลข

การลบเลข — Presentation Transcript

• 1. การลบเลข
• 2. การลบเลขที่มีตัวตั้งมากกว่า 3 หลัก การลบ คือการหักออก ลบออก เอาออก ระหว่างเลขจำนวนเต็ม บวก กับจำนวน เต็มลบ เช่น 45 - 13 = 32
• 3. การลบเลขตัวตั้งไม่เกินสี่หลัก โจทย์ 7523 - 2857 = วิธีการคิด ให้เราจำไว้ว่า หลักเลขที่อยู่ติดกันไปทางซ้ายมือหลักนั้นๆ จะเป็นสิบเท่าของหลักทางขวามือเสมอ เช่น จะเห็นว่าค่าประจำหลักแต่ละหลักจะมีค่าเป็นสิบเท่าของหลักที่อยู่ถัดไปทางขวามือ ... ขั้นตอนการลบเลขหลายหลักมีดังนี้ 10 100 1000 10000 100000 1000000 ค่าประจำหลัก หน่วย สิบ ร้อย พัน หมื่น แสน ล้าน หลักเลข
• 4. แนวคิดที่ 1 1 . ตั้งหลักเลขทั้งตัวตั้งและตัวลบให้ตรงกัน โดย ยืดหลักหน่วยเป็นหลัก และเรียง ลำดับจาก หลักสิบ หลักร้อยตามลำดับ ดังตัวอย่างข้างล่างนี้ 7523 - 2857
• 5. 2 . จากข้อ 1 . ให้เอาหลักหน่วยลบกันก่อน คือ เอา 3 เป็น ลบ ด้วย 7 แต่จากตัวอย่าง ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบจำเป็นที่จะต้องไปยืมจาก หลักสิบมา 1 สิบ บวกกับ 3 เดิม จะกลายเป็น 13 เอา 7 ลบออก จะเหลือ 6 ส่วนตัวตั้งหลักสิบ จะเหลืออยู่ 1 ดังตัวอย่าง ข้างล่าง 1 7523 - 2857 6
• 6. 3 . จากข้อ 2 . ต่อไปเอาหลักสิบลบกัน คือ 1 ลบด้วย 5 ที่กลายเป็น 1 เพราะ 3 มายืม ไปแล้วจึงเหลือ อยู่ 1 เอา 5 ไปลบออกไม่ได้เพราะ 1 น้อยกว่า จำเป็นต้องไปยืมจาก หลักร้อยมา 1 สิบ บวกกับตัวเดิมคือ 1 จะเป็น 11 ลบออก 5 จะเหลือ 6 เขียนเลข 6 ลง ใต้หลักสิบ ดังตัวอย่างข้างล่าง 4 7523 - 2857 66
• 7. 4 . จากข้อ 3 . ต่อไปเอาหลักร้อยลบกัน คือ 4 ลบด้วย 8 ที่กลายเป็น 4 เพราะ 2 จากหลัก สิบ มายืมไป แล้ว 1 จึง เหลือ อยู่ 4 เอา 8 ไปลบออกไม่ได้ เพราะ 4 น้อยกว่า จำเป็น ต้องไป ยืมจาก หลักพันมาอีก 1 สิบ บวกกับตัวเดิมคือ 4 จะกลายเป็น 14 ลบออก 8 เหลือ 6 เขียน เลข 6 ลงใต้หลักร้อย ดูวิธีการข้างล่างนี้ประกอบ 6 7523 - 2857 666
• 8. 5 . จากข้อ 4 . ต่อไปลบหลักพัน คือ 6 ลบด้วย 2 จะเหลือเท่ากับ 4 เขียนเลข 4 ใต้หลักพัน ดังตัวอย่างข้างล่างนี้ 7523 - 2857 4266 ตอบ 4266
• 9. แนวคิดที่ 2 จากโจทย์ 7523 - 2857 = ? วิธีคิด 1 . ตั้งเลขตั้งตัวตั้งและตัวลบ ให้หลักตรงกัน คือหลักหน่วยตัวตั้ง ตรงกับ หลักหน่วยตัวลบหลักสิบ หลักร้อย ฯลฯ ของตัวตั้งและตัวลบ ก็เช่นกัน ดังตัวอย่างข้างล่างนี้ 7523 - 2857
• 10. 2 . จากข้อ 1 . ให้ลบหลักหน่วยก่อนดูที่ตัวตั้ง จะเห็นว่าน้อยกว่าตัวลบ ซึ่งก็ ต้อง ยืมจากหลัก สิบเหมือนแนวคิดที่ 1 ข้างบน แต่ให้เรา ให้เอา 7 ไปลบ ออกจาก 10 ก่อน เหลือ 3 แล้วเอา ไปบวกกับ 3 ตัวตั้ง จะได้ 6 ดังตัว อย่างข้างล่าง ดูเปรียบเทียบกับ ( แนวคิดที่ 1 ข้างบน ) 1 7523 - 2857 6
• 11. 3 . จากข้อ 2 . ที่หลักสิบเป็น 1 - 5 ให้เอา 5 ไปลบออกจาก 10 เหลือ 5 บวก กับ 1 ตัวตั้ง จะได้ 6 เขียน 6 ใต้หลัก สิบ ดังตัวอย่าง ข้างล่าง 4 7523 - 2857 66
• 12. 4 . จากข้อ 3 ต่อไปลบหลักร้อย คือ 4 ลบด้วย 8 ให้เอา 8 ไปลบ ออกจาก 10 เหลือ 2 บวกกับ 4 ตัวตั้งจะได้ 6 เขียนเลข 6 ใต้ หลักร้อย ดังตัวอย่างข้างล่างนี้ 6 7523 - 2857 666
• 13. 5 . จากข้อ 4 ลบหลักพัน จะเหลือ 6 - 2 จะเหลือเท่ากับ 4 เขียน 4 ใต้หลัก พัน 7523 - 2857 4666 ตอบ 4666
• 14. สรุปว่า - ให้เราสังเกตหลักเลขที่ติดกันทางขวามือหลักที่กำลังจะลบนั้น ถ้าตัวตั้งน้อย กว่าตัวลบ แสดงว่า หลักที่เรากำลังจะลบ นั้นถูกยืมไปแล้ว 1 จึงให้เอา ตัวลบ ๆ ออกจาก สิบ ก่อน แล้วบวกกับตัวตั้งนั้นเลย หลักถัดไปก็ทำเช่นเดียว กัน จนถึงหลักสูงสุดที่โจทย์ กำหนด

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

         เป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ถ้าเรากำหนดให้ และ เราจะทราบว่า  และถ้า  เราจะได้ 
       จากข้างต้นดังที่กล่าวมา เราสามารถที่จะสรุปได้ว่า
เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่ดันดับของ r คือ  เรียกเซตนี้ว่า โดเมน ของ r
เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่ดันดับของ r คือ  เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ ของ r

       นิยาม โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r  ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r  นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย  และ เรนจ์ด้วย  ดังนั้น และ 

   

      ให้ และ  จงหา  และ 

   การแก้ปัญหา : 

ดังนั้น   และ 

      จากตัวอย่างดังข้างต้น เป็นการหาค่าโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชิก ซึ่งจะพบว่าค่า x ที่จะเป็นสมาชิกในโดเมน หรือค่า  y ที่จะเป็นสมาชิกในเรนจ์จะต้องเป็นสมาชิกตัวหน้า หรือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับตามลำดับ จากความเข้าใจนี้ เราจะนำไปใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจงแจงสมาชิกของเซตเหล่านี้ได้หมดทุกตัว เช่น ซึ่งการหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้จะต้องพิจารณาด้วยค่าของ x หรือ y จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์ โดยพิจารณาจากค่าที่เป็นไปได้หรือค่าที่เป็นไปไม่ได้ หรือหาโดเมนและเรนจ์ได้จากกราฟของความสัมพันธ์ ดังนั้นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัว สามารถทำได้ 2 วิธีได้แก่
  1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์
  2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์
ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ

      การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด

      การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ  แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทำให้  x เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด

   

1.
2.
3.

   การแก้ปัญหา : 
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์

 

จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน x และทุกจุดบนแกน  y สามารถเขียนกราฟของ ได้เสมอ

แสดงว่า และ 
หรือ 
หรือ 

   วิธีที่ 2   พิจารณาจากความสัมพันธ์  จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า x ด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า  y ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ  ได้เสมอ นั่นคือ  และ