โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

         เป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ถ้าเรากำหนดให้ และ เราจะทราบว่า  และถ้า  เราจะได้ 
       จากข้างต้นดังที่กล่าวมา เราสามารถที่จะสรุปได้ว่า
เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่ดันดับของ r คือ  เรียกเซตนี้ว่า โดเมน ของ r
เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่ดันดับของ r คือ  เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ ของ r

       นิยาม โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r  ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r  นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย  และ เรนจ์ด้วย  ดังนั้น และ 

   

      ให้ และ  จงหา  และ 

   การแก้ปัญหา : 

ดังนั้น   และ 

      จากตัวอย่างดังข้างต้น เป็นการหาค่าโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชิก ซึ่งจะพบว่าค่า x ที่จะเป็นสมาชิกในโดเมน หรือค่า  y ที่จะเป็นสมาชิกในเรนจ์จะต้องเป็นสมาชิกตัวหน้า หรือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับตามลำดับ จากความเข้าใจนี้ เราจะนำไปใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจงแจงสมาชิกของเซตเหล่านี้ได้หมดทุกตัว เช่น ซึ่งการหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้จะต้องพิจารณาด้วยค่าของ x หรือ y จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์ โดยพิจารณาจากค่าที่เป็นไปได้หรือค่าที่เป็นไปไม่ได้ หรือหาโดเมนและเรนจ์ได้จากกราฟของความสัมพันธ์ ดังนั้นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัว สามารถทำได้ 2 วิธีได้แก่
  1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์
  2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์
ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ

      การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด

      การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ  แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทำให้  x เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด

   

1.
2.
3.

   การแก้ปัญหา : 
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์

 

จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน x และทุกจุดบนแกน  y สามารถเขียนกราฟของ ได้เสมอ

แสดงว่า และ 
หรือ 
หรือ 

   วิธีที่ 2   พิจารณาจากความสัมพันธ์  จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า x ด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า  y ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ  ได้เสมอ นั่นคือ  และ